Klasa 7 – System binarny i reprezentacja znaków

Cel lekcji

Po tej lekcji rozumiesz, dlaczego komputer używa zer i jedynek, odczytujesz proste liczby binarne oraz wiesz, jak w pamięci komputera zapisuje się znaki.

• odróżniasz system dziesiętny od binarnego,
• wyjaśniasz, czym są bit i bajt,
• zamieniasz proste liczby binarne na dziesiętne,
• tworzysz zapis binarny wybranej liczby dziesiętnej,
• wiesz, czym jest kodowanie znaków.

Wstęp teoretyczny

Na co dzień korzystamy z systemu dziesiętnego. Ma on dziesięć cyfr: od 0 do 9. Komputery wygodnie rozpoznają dwa stany, na przykład włączony i wyłączony. Dlatego używają systemu binarnego, który ma tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Jedna cyfra binarna to bit. Bit ma tylko dwa możliwe stany: 0 albo 1. Osiem bitów tworzy bajt. Komputer zapisuje w bitach liczby, litery, zdjęcia, dźwięki i polecenia programów.

Dalsza część teoretyczna

Wartości pozycyjne

W zapisie dziesiętnym kolejne pozycje mają wartości 1, 10, 100, 1000… W zapisie binarnym wartości podwajają się: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Czytając liczbę binarną, dodajesz tylko wartości znajdujące się pod cyfrą 1.

10110011₂ to 128 + 32 + 16 + 2 + 1, czyli 179₁₀. Mały indeks 2 oznacza zapis binarny, a indeks 10 – zapis dziesiętny.

Jak zamienić liczbę dziesiętną na binarną?

Wybieraj od największej możliwej wartości pozycyjnej. Jeśli wartość mieści się w liczbie, wpisz 1 i odejmij ją. Jeśli się nie mieści, wpisz 0.

Przykład dla liczby 45:

1. Największa wartość, która mieści się w 45, to 32. Zapisz 1 pod 32, a potem oblicz 45 − 32 = 13.
2. 16 nie mieści się w 13, więc pod 16 zapisz 0.
3. 8 mieści się w 13. Zapisz 1 i otrzymaj 13 − 8 = 5.
4. 4 mieści się w 5. Zapisz 1 i otrzymaj 5 − 4 = 1.
5. 2 nie mieści się w 1, więc zapisz 0. Pod 1 zapisz 1.

Otrzymujesz 00101101₂. Zera na początku nie zmieniają wartości liczby, ale w bajcie często zapisuje się wszystkie osiem miejsc.

Bity, bajty i liczba możliwych zapisów

Jeden bit daje 2 możliwości. Dwa bity dają 4 możliwości: 00, 01, 10 i 11. Osiem bitów daje 256 różnych kombinacji, dlatego jeden bajt może zapisać liczbę od 0 do 255.

Jak komputer zapisuje litery?

Komputer nie przechowuje litery jako rysunku literki. Każdemu znakowi przypisuje kod liczbowy, a ten kod zapisuje w bitach. Taki sposób nazywa się kodowaniem znaków.

ASCII jest starszym zestawem kodów, który obejmuje przede wszystkim litery alfabetu angielskiego, cyfry i znaki interpunkcyjne. Unicode jest znacznie większym standardem: pozwala zapisywać znaki wielu języków, również polskie litery, symbole matematyczne i emoji.

Po co znać system binarny?

System binarny pomaga zrozumieć, jak komputer przechowuje informacje. Dzięki niemu można wyjaśnić działanie pamięci, kolorów obrazu, dźwięku i kodów znaków. Nie musisz wykonywać wszystkich obliczeń w pamięci – najważniejsze jest rozumienie wartości pozycyjnych i sposobu działania bitów.

System dziesiętny, dwójkowy i szesnastkowy

System dziesiętny (DEC) ma podstawę 10 i cyfry 0–9. System dwójkowy (BIN) ma podstawę 2 i cyfry 0 oraz 1. System szesnastkowy (HEX) ma podstawę 16: po cyfrach 0–9 używa liter A, B, C, D, E, F, które oznaczają wartości 10–15. Małe litery a–f znaczą to samo co wielkie A–F.

Zera na początku nie zmieniają wartości. Cztery bity mają 16 kombinacji: od 0000 do 1111. Przykład: 1101₂ = 13₁₀ = D₁₆. Indeks dolny wskazuje podstawę systemu.

W HEX kolejne pozycje od prawej mają wartości 1, 16, 256… Dlatego 2F₁₆ = 2 × 16 + 15 = 47₁₀. Dwie cyfry HEX opisują osiem bitów: 0010 1111₂ = 2F₁₆.

Unicode: jak liczby stają się znakami?

Unicode to wspólny standard opisu znaków: liter różnych języków, symboli i emoji. Znak ma numer zwany punktem kodowym. Zapis U+0041 oznacza numer szesnastkowy 0041, przypisany wielkiej literze A. O wyglądzie litery na ekranie decyduje czcionka.

Starszy standard ASCII obejmuje 128 kodów (0–127). Unicode zachowuje ich numery, a dodatkowo obejmuje m.in. polskie litery. UTF-8 określa sposób zapisania punktów kodowych Unicode w bajtach. Jeden punkt zajmuje w UTF-8 od 1 do 4 bajtów: A zajmuje 1 bajt, a ą – 2. Widoczny znak, np. złożone emoji, może składać się z kilku punktów kodowych.

Ważne: numer znaku i jego zapis w bajtach to różne rzeczy. Numer ą wynosi 261; jego bajty UTF-8 mają wartości szesnastkowe C4 85. Nie zakładaj, że każda litera zajmuje jeden bajt.

Więcej: wprowadzenie do Unicode.

Kalkulator Windows: BIN i HEX na system dziesiętny

1. Otwórz menu Start, wpisz Kalkulator i uruchom aplikację.
2. Rozwiń menu ☰ i wybierz Programisty.
3. Pozostaw rozmiar QWORD, aby dla przykładów z tej lekcji otrzymywać dodatnie wyniki. Wyczyść poprzednią liczbę przyciskiem C.
4. Z BIN na DEC: najpierw wybierz BIN, potem wpisz 1101. Przy DEC odczytaj 13. Możesz kliknąć DEC, aby pokazać wynik na głównym wyświetlaczu.
5. Z HEX na DEC: naciśnij C, wybierz HEX i wpisz 2F. Przy DEC odczytaj 47. Litery A–F są dostępne w trybie HEX.

Najpierw wybierasz system liczby wejściowej, a dopiero potem wpisujesz liczbę. Nie wpisuj indeksów ₂, ₁₆ ani oznaczenia U+. Aby przeliczyć U+0041, wybierz HEX i wpisz 0041: DEC pokaże 65.

Sprawdź samodzielnie: przelicz 1010₂, 1111₂, 10000₂ oraz A₁₆, 10₁₆ i FF₁₆. Wyniki do sprawdzenia: 10, 15, 16 oraz 10, 16 i 255.

Pomoc Microsoft: Kalkulator Windows.

Linki do ciekawych stron

• Khan Academy: bity i liczby binarne – lekcja z przykładami zapisu binarnego.
• CS Unplugged: Binary Numbers – aktywność z kartami do nauki bez komputera.
• Khan Academy: Computers and the Internet – kurs o informacji cyfrowej i działaniu komputerów.

Podsumowanie

System binarny używa tylko cyfr 0 i 1. Każda pozycja ma wartość będącą potęgą liczby 2. Bit to jedna cyfra binarna, a bajt składa się z ośmiu bitów. Komputer wykorzystuje bity do zapisywania liczb, znaków i wszystkich innych danych.

Pytania kontrolne

1. Ile cyfr ma system binarny?
2. Jakie cyfry występują w zapisie binarnym?
3. Czym różni się system dziesiętny od binarnego?
4. Co to jest bit?
5. Ile bitów tworzy jeden bajt?
6. Jakie wartości mają kolejne pozycje w ośmiobitowym zapisie binarnym?
7. Co oznacza cyfra 1 na danej pozycji liczby binarnej?
8. Na jaką liczbę dziesiętną zamienisz 00001010₂?
9. Na jaką liczbę dziesiętną zamienisz 00110000₂?
10. Które wartości dodasz, aby odczytać 10110011₂?
11. Jaką wartość ma liczba 10110011₂?
12. Jaki zapis binarny otrzymasz dla liczby 45?
13. Czy zera na początku zmieniają wartość liczby binarnej?
14. Ile różnych kombinacji można zapisać w jednym bajcie?
15. Jaki zakres liczb może opisać jeden bajt bez znaku?
16. Co to jest kodowanie znaków?
17. Dlaczego komputer potrzebuje kodowania znaków?
18. Jaka jest różnica między ASCII a Unicode?
19. Dlaczego Unicode jest przydatny w języku polskim?
20. Podaj dwa rodzaje informacji, które komputer może zapisać w bitach.